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    <title>常用分布</title>
    <meta charset="utf-8" />
    <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/note.css" />
</head>
<body>

<table>
	<caption>常用离散型分布</caption>
	<tr>
		<td>名称</td>
		<td>概率分布 `p_k`, `k in ZZ`, 未定义处概率视为 0</td>
		<td>备注</td>
		<td>数学期望 `sum_(k=1)^n p_k x_k`</td>
		<td>方差 `E(xi-E xi)^2`</td>
		<td>特征函数 `E "e"^("i"t xi)`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>退化分布 `I_c(x)`</td>
		<td>`P{xi=c} = 1`</td>
		<td></td>
		<td>`c`</td>
		<td>`0`</td>
		<td>`"e"^("i"t c)`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>两点分布 (Bernoulli 分布)</td>
		<td>`p^k(1-p)^(1-k)`</td>
		<td>`k = 0,1`, `0 lt p lt 1`</td>
		<td>`p`</td>
		<td>`p(1-p)`</td>
		<td>`1 + p("e"^("i"t)-1)`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>二项分布 `B(n, p)`</td>
		<td>`(n;k) p^k (1-p)^(n-k)`</td>
		<td>`0 le k le n`, `0 lt p lt 1`</td>
		<td>`np`</td>
		<td>`np(1-p)`</td>
		<td>`(1 + p("e"^("i"t)-1))^n`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>Poisson 分布 `P(lambda)`</td>
		<td>`lambda^k/(k!) "e"^-lambda`</td>
		<td>`k ge 0`, `lambda gt 0`</td>
		<td>`lambda`</td>
		<td>`lambda`</td>
		<td>`"e"^(lambda("e"^("i"t)-1))
			= lim_(n to oo)(1+lambda/n("e"^("i"t)-1))^n`
		</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>几何分布</td>
		<td>`p (1-p)^(k-1)`</td>
		<td>`k ge 1`, `0 lt p lt 1`</td>
		<td>`p^-1`</td>
		<td>`p^-1(p^-1 - 1)`</td>
		<td>`(1 + p^-1("e"^(-"i"t)-1))^-1`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>Pascal 分布</td>
		<td>`(k-1;n-1) p^n (1-p)^(k-n)`</td>
		<td>`k ge n`, `0 lt p lt 1`</td>
		<td>`n p^-1`</td>
		<td>`n p^-1(p^-1 - 1)`</td>
		<td>`(1 + p^-1("e"^(-"i"t)-1))^-n`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>负二项分布</td>
		<td>`(-r;k) p^r (p-1)^k`</td>
		<td>`r gt 0`, `k ge 0`, `0 lt p lt 1`</td>
		<td>`r (p^-1 - 1)`</td>
		<td>`r p^-1 (p^-1 - 1)`</td>
		<td>`("e"^("i"t) (1 + p^-1("e"^(-"i"t)-1)))^-r`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>超几何分布</td>
		<td>`[(M;k) (N-M;n-k)]/{:(N;n):}`</td>
		<td>`0 le k le min{M,n}`</td>
		<td>`(nM)/N`</td>
		<td>`(nM)/N (1-M/N) * (N-n)/(N-1)`</td>
		<td>`sum_(k=0)^n p_k "e"^("i"t k)`</td>
	</tr>
</table>

<ol class="example">
    <li><b>超几何分布</b> 求数学期望和方差.</li>
    <li><b>不放回摸球试验</b> 设有红球 `M` 个, 黑球 `N-M` 个,
        做 `n` 次不放回摸球试验. 则恰好一共摸出 `k` 个红球的概率为
        <span class="formula">
            `((M;k)(N-M;n-k))/((N;n))`.
        </span>
    </li>
    <li><b>抽签概率与顺序无关</b> 在 `n` 次不放回摸球试验中,
        每次摸出红球的概率都是 `M//N`.
    </li>
</ol>

<ol class="solution">
    <li>利用等式 `k (M;k) = M (M-1; k-1)` `(k gt 0)` 和
        <a href="../comb/2.html#the-vandermonde">
            Vandermonde 恒等式
        </a>有:
        <span class="formula">
            `E X = sum_(k=0)^n k((M;k) (N-M;n-k))/((N;n))`
            `= (N;n)^-1 sum_(k=1)^n M (M-1; k-1) (N-M; n-k)`
            `= (N;n)^-1 M (N-1;n-1)`
            `= (n M)/N`.
        </span>
        类似由 `k(k-1) (M;k) = M(M-1) (M-2;k-2)` `(k gt 1)` 有
        <span class="formula">
            `E(X(X-1)) = (n(n-1)M(M-1))/(N(N-1))`.
        </span>
        于是
        <span class="formula">
            `D X = E(X^2) - (E X)^2`
            `= E(X(X-1)) + E X - (E X)^2`
            `= (n M)/N (((n-1)(M-1))/(N-1) + 1 - (n M)/N)`
            `= (n M)/N (1-M/N) * (N-n)/(N-1)`.
        </span>
    </li>
    <li>记 `n` 次不放回摸球试验中, 恰好摸出 `k` 个红球的概率为 `p_(n,k)`,
        可得递推关系:
        <span class="formula">
            `p_(n,k) = p_(n-1,k) (N-M-(n-1-k))/(N-n+1)
            + p_(n-1,k-1) (M-k+1)/(N-n+1)`.
        </span>
        和边界条件:
        <span class="formula">
            `p_(n,0) = (N-M)^(ul n)/N^(ul n)`,
            `quad p_(n,n) = M^(ul n)/N^(ul n)`.
        </span>
        其中 `x^(ul n) = x(x-1)cdots(x-n+1)` 为 `x` 的 `n` 次下降幂.
        可以验证答案适合上面的递推关系.<br/>
        直观地看, 恰好摸出 `k` 个红球的概率, 相当于所有的 `(N;n)`
        种取法中, 先摸 `k` 个红球 (有 `(M;k)` 种取法),
        再摸 `n-k` 个黑球 (有 `(N-M;n-k)` 种取法) 的取法所占的比例.
        不过, 我们还没有证明摸球的概率与顺序无关. 这是 3. 的内容.
    </li>
    <li>设
        <span class="formula">
            `X_i = {1, if "第 "i" 次摸出红球"; 0, otherwise :}`,<br/>
        </span>
        由 2, `sum_(i=1)^n X_i` 满足超几何分布, 由 1,
        `E(sum_(i=1)^n X_i) = (n M)/N`.
        于是 `E(X_n) = E(sum_(i=1)^n X_i) - E(sum_(i=1)^(n-1) X_i)`
        `= M/N`, 即 `P{X_n=1} = M/N`.
    </li>
</ol>

<table>
	<caption>常用连续型分布</caption>
	<tr>
		<td>名称</td>
		<td>概率密度函数 `p(x)`, `x in RR`, 未定义处概率密度视为 0</td>
		<td>备注</td>
		<td>数学期望 `int_-oo^oo x "d"F(x)`</td>
		<td>方差 `E(xi-E xi)^2`</td>
		<td>特征函数 `E "e"^(it xi)`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>正态分布 (Gauss 分布) `N(mu, sigma^2)`</td>
		<td>`1/(sqrt(2 pi) sigma) "e"^(-(x-mu)^2/(2sigma^2))`</td>
		<td>`sigma gt 0`</td>
		<td>`mu`</td>
		<td>`sigma^2`</td>
		<td>`exp("i" mu t - 1/2 sigma^2 t^2)`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>`n` 元正态分布</td>
		<td>`1/sqrt((2 pi)^n |bm Sigma|) "e"^[-1/2(bm x-bm mu)' bm
			Sigma^-1 (bm x-bm mu)]`
		</td>
		<td>`bm x, bm mu in RR^n`, `bm Sigma in RR^(n xx n)` 对称正定</td>
		<td>`bm mu`</td>
		<td>`bm Sigma` (协方差矩阵)</td>
		<td>`exp("i" bm(mu' t) - 1/2 bm(t' Sigma t))`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>均匀分布 `U[a, b]`</td>
		<td>`1/(b-a)`</td>
		<td>`a le x le b`</td>
		<td>`(a+b)/2`</td>
		<td>`(b-a)^2/12`</td>
		<td>`("e"^("i"t b)-"e"^("i"t a))/("i"t(b-a))`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>指数分布 `"Exp"(lambda) = Gamma(1, lambda)`</td>
		<td>`lambda "e"^(-lambda x)`</td>
		<td>`x ge 0`, `lambda gt 0`</td>
		<td>`lambda^-1`</td>
		<td>`lambda^-2`</td>
		<td>`(1-("i"t)/lambda)^-1`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>`chi^2` 分布 `= Gamma(n/2, 1/2)`</td>
		<td>`(x^(n/2-1) "e"^(-x/2))/(2^(n/2) Gamma(n/2))`</td>
		<td>`x ge 0`, `n in ZZ^+`</td>
		<td>`n`</td>
		<td>`2n`</td>
		<td>`(1-2"i"t)^(-n/2)`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>`Gamma` 分布 `Gamma(r, lambda)`</td>
		<td>`lambda^r/(Gamma(r)) x^(r-1) "e"^(-lambda x)`</td>
		<td>`x ge 0`, `r gt 0`, `lambda gt 0`</td>
		<td>`r lambda^-1`</td>
		<td>`r lambda^-2`</td>
		<td>`(1-("i"t)/lambda)^-r`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>F 分布</td>
		<td>`(m^(m/2) n^(n/2))/(B(m/2, n/2)) * x^(m/2-1)/(n+mx)^((m+n)/2)`
		</td>
		<td>`x ge 0`, `m, n in ZZ^+`</td>
		<td>`n/(n-2)` (`n gt 2`)</td>
		<td>`(2n^2(m+n-2))/(m(n-2)^2(n-4))` (`n gt 4`)</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>t 分布 (Student 分布)</td>
		<td>`1/(sqrt n B(1/2, n/2)) (1+x^2/n)^(-(n+1)/2)`</td>
		<td>`n in ZZ^+`</td>
		<td>`0` (`n gt 1`)</td>
		<td>`n/(n-2)` (`n gt 2`)</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>Cauchy 分布</td>
		<td>`1/pi * lambda/(lambda^2 + (x-mu)^2)`</td>
		<td>`lambda gt 0`</td>
		<td>不存在</td>
		<td>不存在</td>
		<td>`exp("i" mu t - lambda|t|)`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>Pareto 分布</td>
		<td>`(r A^r)/x^(r+1)`</td>
		<td>`x ge A`, `r, A gt 0`</td>
		<td>`r gt 1` 时存在</td>
		<td>`r gt 2` 时存在</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>Beta 分布</td>
		<td>`(x^(p-1) (1-x)^(q-1))/(B(p, q))`</td>
		<td>`0 lt x lt 1`, `p, q gt 0`</td>
		<td>`p/(p+q)`</td>
		<td>`(pq)/((p+q)^2 (p+q+1))`</td>
		<td>`sum_(k=0)^oo (B(p+q, p+k))/(B(p, p+q+k)) ("i"t)^k/(k!)`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>对数正态分布</td>
		<td>`1/(sigma x sqrt(2 pi)) "e"^(-(ln x-alpha)^2/(2 sigma^2))`
		</td>
		<td>`x gt 0`, `alpha, sigma gt 0`</td>
		<td>`"e"^(alpha + sigma^2/2)`</td>
		<td>`"e"^(2 alpha + sigma^2) ("e"^(sigma^2) - 1)`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>Weibull 分布</td>
		<td>`alpha lambda x^(alpha-1) "e"^(-lambda x^alpha)`</td>
		<td>`x gt 0`, `alpha, lambda gt 0`</td>
		<td>`(Gamma(1/alpha + 1))/lambda^(1/alpha)`</td>
		<td>`[Gamma(2/alpha+1) - (Gamma(1/alpha+1))^2]/lambda^(2/alpha)`
		</td>
	</tr>
</table>

<h2>数理统计三大分布</h2>

<ol class="definition">
	<li><b>`chi^2` 分布</b> 由 Gamma 函数 (`t = lambda x`)
		<span class="formula">
			`Gamma(r) = int_0^oo t^(r-1) "e"^-t dt`
			`= int_0^oo lambda^r x^(r-1) "e"^(-lambda x) dx`,
		</span>
		可定义密度函数为
		<span class="formula">
			`lambda^r/(Gamma(r)) x^(r-1) "e"^(-lambda x)`,
			`quad x gt 0`
		</span>
		的分布为 <b>Gamma 分布</b> `Gamma(r, lambda)`, 其中 `r gt 0`
		称为形状参数, `lambda gt 0` 称为尺度参数.
		特别 `Gamma(lambda, 1)` 称为<b>指数分布</b>,
		`Gamma(n/2, 1/2)` 称为自由度为 `n` 的
		<b>`chi^2` 分布 (卡方分布)</b> `chi_n^2` (`n in ZZ^+`).
		`n ge 3` 时, 此密度函数在 `n-2` 处取得极大值.
		特别 `chi_2^2` 是一指数分布.
	</li>
	<li><b>F 分布</b> 由 Beta 函数 (`u = m/n x`)
		<span class="formula">
			`B(m/2, n/2) = int_0^oo u^(m/2-1)/(1+u)^((m+n)/2) "d"u`
			`= int_0^oo (m/n)^(m/2) x^(m/2-1)/(1+m/n x)^((m+n)/2) dx`,
		</span>
		可定义密度函数为
		<span class="formula">
			`(m/n)^(m/2)/(B(m/2, n/2)) x^(m/2-1)/(1+m/n x)^((m+n)/2)`,
			`quad x gt 0`
		</span>
		的分布为 F 分布 `F_(m, n)`, 其中 `m, n in ZZ^+`
		分别称为第一, 第二自由度.
		`m ge 3` 时, 此密度函数在 `(m-2)/m n/(n+2)` 处取得极大值,
		此极值点落在 `(0, 1)` 内.
	</li>
	<li><b>t 分布 (Student 分布)</b> 由 Beta 函数 (`u = x^2/n`)
		<span class="formula">
			`B(1/2, n/2) = int_0^oo u^(1/2-1)/(1+u)^((1+n)/2) "d"u`
			`= int_0^oo (sqrt n)/x (1+x^2/n)^(-(n+1)/2) (2x)/n dx`,
		</span>
		可定义密度函数为
		<span class="formula">
			`1/(sqrt n B(1/2, n/2)) (1+x^2/n)^(-(n+1)/2)`,
			`quad x in RR`
		</span>
		的分布为 t 分布 `t_n` (`n in ZZ^+`).
		此密度函数是偶函数.
	</li>
</ol>

<p class="theorem">
	设 `X_1, X_2, cdots, X_n "i.i.d."~ N(0,1)`, 则
	<span class="formula">
		`X = sum_(i=1)^n X_i^2 ~ chi_n^2`.
	</span>
</p>

<ol class="proof">
	设 `X` 的分布函数为 `F(x)`, 密度函数为 `f(x)`,
	则 `x le 0` 时 `F(x) = 0`; `x gt 0` 时,
	对 `n` 进行归纳证明.
	<li>`n=1` 时,
		<span class="formula">
			`F(x) = P{X lt x}`
			`= int_(t^2 lt x) 1/sqrt(2pi) "e"^(-t^2/2) dt`
			`= int_0^(sqrt x) 2/sqrt(2pi) "e"^(-t^2/2) dt`.
		</span>
		求导得
		<span class="formula">
			`f(x) = 1/(2sqrt x) 2/sqrt(2pi) "e"^(-x/2)`
			`= 1/sqrt(2 pi x) "e"^(-x/2)`.
		</span>
		因此 `X ~ chi_1^2`.
	</li>
	<li>假设命题对正整数 `n` 成立, 考察 `n+1` 的情形.
		令 `xi = sum_(i=1)^n X_i^2`, `eta = X_(n+1)^2`,
		`X = xi + eta`, 则由卷积公式,
		<span class="formula">
			`f(x) = int_(-oo)^oo f_xi(x-t) f_eta(t) dt`
			`= int_0^x f_xi(x-t) f_eta(t)`
			`= int_0^x 1/(2^((n+1)/2) Gamma(n/2)Gamma(1/2)) (x-t)^(n/2-1)
			t^(-1/2) "e"^(-x/2) dt`
			`= 1/(2^((n+1)/2) Gamma((n+1)/2) B(n/2, 1/2)) "e"^(-x/2)
			int_0^x (x-t)^(n/2-1) t^(-1/2) dt`
			`= 1/(2^((n+1)/2) Gamma((n+1)/2) B(n/2, 1/2)) "e"^(-x/2)
			x^((n-1)/2) int_0^1 (1-u)^(n/2-1) u^(1/2-1) "d"u`
			`= 1/(2^((n+1)/2) Gamma((n+1)/2)) x^((n+1)/2-1) "e"^(-x/2)`.
		</span>
		因此 `X ~ chi_(n+1)^2`.
	</li>
</ol>

<p class="proof">
	首先有
	<span class="formula">
		`int_0^pi sin^k x dx = B((k+1)/2, 1/2) = (sqrt pi Gamma((k+1)/2))
		/(Gamma((k+2)/2))`,<br/>
		`prod_(i=1)^(n-2) int_0^pi sin^(n-1-i) theta_i "d"theta_i`
		`= pi^(n/2-1) (Gamma((n-1)/2))/(Gamma(n/2))
		(Gamma((n-2)/2))/(Gamma((n-1)/2)) cdots (Gamma(1))/(Gamma(3/2))`
		`= pi^(n/2-1)/(Gamma(n/2))`.
	</span>
	`x gt 0` 时, 应用 `n` 维球坐标变换, 直接计算
	<span class="formula">
		`F(x) = int_(sum_(i=1)^n t_i^2 lt x) (1/sqrt(2pi))^n exp(-1/2
		sum_(i=1)^n t_i^2) dt`
		`= (2pi)^(-n/2) int_0^(2pi) "d"theta_(n-1) int_0^pi
		"d"theta_(n-2) cdots`
		`int_0^pi "d"theta_1 int_0^(sqrt x) r^(n-1) "e"^(-r^2/2)
		prod_(i=1)^(n-2) sin^(n-1-i) theta_i "d"r`
		`= (2pi)^(1-n/2) prod_(i=1)^(n-2) int_0^pi sin^(n-1-i) theta_i
		"d"theta_i int_0^(sqrt x) r^(n-1) "e"^(-r^2/2) "d"r`
		`= (2pi)^(1-n/2) pi^(n/2-1)/(Gamma(n/2))
		int_0^(sqrt x) r^(n-1) "e"^(-r^2/2) "d"r`.
	</span>
	求导,
	<span class="formula">
		`f(x) = 1/(2^(n/2-1) Gamma(n/2)) 1/(2sqrt x) x^((n-1)/2) "e"^(-x/2)`
		`= 1/(2^(n/2) Gamma(n/2)) x^(n/2-1) "e"^(-x/2)`.
	</span>
	因此 `X ~ chi_n^2`.
</p>

<p class="corollary">
	`n to oo` 时, 由中心极限定理知 `chi_n^2` 分布趋于正态分布 `N(n, 2n)`.
</p>

<ol class="lemma">
	<li>设 `X ~ Gamma(r, lambda)`, 则 `k X ~ Gamma(r, lambda/k)`;</li>
	<li>设 `X ~ chi_n^2`, 则 `X//n ~ Gamma(n/2, n/2)`.</li>
</ol>

<p class="proof">
	只证 1.
	设 `X` 的分布函数为 `F(x)`, 密度函数为 `f(x)`,
	则 `k X` 的分布函数为
	<span class="formula">
		`P{k X lt x} = P{X lt x/k} = F(x/k)`.
	</span>
	密度函数为 
	<span class="formula">
		`"d"/dx F(x/k) = 1/k f(x/k)`
		`1/k lambda^r/(Gamma(r)) (x/k)^(r-1) "e"^(-lambda x/k)`,
	</span>
	于是 `k X ~ Gamma(r, lambda/k)`;
</p>

<p class="theorem">
	设 `X ~ chi_m^2`, `Y ~ chi_n^2` 且独立, 则
	<span class="formula">
		`Z = (X//m)/(Y//n) ~ F_(m,n)`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	由引理知 `X//m` 和 `Y//n` 分别服从 `Gamma(m/2, m/2)` 和 `Gamma(n/2,
	n/2)` 且独立. 由随机变量商的分布公式,
	<span class="formula">
		`f_Z(x) = int_0^oo f_(X//m)(x t) f_(Y//n)(t) t dt`
		`= int_0^oo ((m/2)^(m/2) (n/2)^(n/2))/(Gamma(m/2) Gamma(n/2))
		(x t)^(m/2-1) t^(n/2-1) t "e"^(-(m x+n)/2 t) dt`
		`= ((m/2)^(m/2) (n/2)^(n/2))/(Gamma(m/2) Gamma(n/2)) x^(m/2-1)`
		`((m x+n)/2)^(-(m+n)/2) int_0^oo u^((m+n)/2-1) "e"^-u "d"u`
		`= ((m/2)^(m/2) (n/2)^(n/2))/(B(m/2, n/2)) x^(m/2-1)
		((m x+n)/2)^(-(m+n)/2)`.
	</span>
	于是 `Z ~ F_(m, n)`.
</p>

<p class="corollary">
	若 `X ~ F_(m, n)`, 则 `X^-1 ~ F_(n, m)`.
</p>

<p class="lemma">
	若 `X, Y` 是独立的连续型随机变量,
	且 `X` 具有对称的密度函数 (偶函数), 则 `Z = X//Y`
	也具有对称的密度函数.
</p>

<p class="theorem">
	设 `X ~ N(0,1)`, `Y ~ chi_n^2` 且独立, 则
	<span class="formula">
		`T = X/sqrt(Y//n) ~ t_n`.
	</span>
	特别地, 若 `Z ~ N(0,1)` 且与 `X` 独立, 则
	<span class="formula">
		`X/|Z| ~ t_1`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	易知 `T^2 = X^2/(Y//n) ~ F_(1, n)`.
	从而 `x gt 0` 时, `|T|` 的分布函数为
	<span class="formula">
		`P{|T| lt x} = P{T^2 lt x^2} = F_(T^2)(x^2)`,
	</span>
	`|T|` 的密度函数为
	<span class="formula">
		`f_|T|(x)`
		`= 2x f_(T^2)(x^2)`
		`= 2x ((1/n)^(1/2) (x^2)^(-1/2))/(B(1/2, n/2) (1+x^2/n)^((n+1)/2))`
		`= 2/(sqrt n B(1/2, n/2)) (1+x^2/n)^(-(n+1)/2)`
	</span>
	由引理, `T` 具有对称的密度函数, 所以不难得到
	<span class="formula">
		`f_T(x) = 1/2 f_|T|(|x|)`.
	</span>
	于是 `T ~ t_n`.
</p>

<p class="theorem">
	`n to oo` 时, `t_n` 趋于标准正态分布.
</p>

<p class="proof">
	首先
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) (1+x^2/n)^(-(n+1)/2) = "e"^(-x^2/2)`,
	</span>
	利用 Euler 公式
	<span class="formula">
		`Gamma(x) = lim_(n to oo) n^x B(x, n+1)`
	</span>
	有
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) sqrt n B(1/2, n/2)`
		`= lim_(m to oo) sqrt(2m+2) B(1/2, m+1)`
		`= sqrt 2 lim_(m to oo) sqrt m B(1/2, m+1)`
		`= sqrt 2 Gamma(1/2)`
		`= sqrt(2pi)`.
	</span>
	总之, t 分布的密度函数趋于标准正态分布密度函数.
</p>

<h2>其它</h2>

<p class="definition">
	<b>Beta 分布</b>
	由 Beta 函数
	<span class="formula">
		`B(p, q) = int_0^1 x^(p-1) (1-x)^(q-1) dx`,
	</span>
	可定义密度函数为
	<span class="formula">
		`(x^(p-1) (1-x)^(q-1))/(B(p, q))`, `quad x in (0,1)`
	</span>
	的分布为 Beta 分布 `Be ta(p,q)`.
</p>

<p class="theorem" id="beta-distribution">
	设 `X ~ Gamma(p, lambda)`, `Y ~ Gamma(q, lambda)` 且独立, 则
	`X+Y` 与 `X/(X+Y)` 独立, 且
	<span class="formula">
		`X/(X+Y) ~ Be ta(p,q)`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	考虑 `X, Y` 的联合分布密度
	<span class="formula">
		`p(x, y) = (x^(p-1) y^(q-1))/(Gamma(p) Gamma(q)) lambda^(p+q)
		"e"^(-lambda (x+y))`, `quad x, y gt 0`,
	</span>
	作变元替换 `u = x+y`, `v = x/(x+y)`, 于是 `x = u v`, `y = u(1-v)`,
	Jacobi 行列式为
	<span class="formula">
		`J = (del(x,y))/(del(u,v))`
		`= |v, u; 1-v, -u|`
		`= -u`.
	</span>
	新变元下的密度函数为
	<span class="formula">
		`p(x(u,v), y(u,v)) |J|`
		`= u^(p+q-1)/(Gamma(p+q)) lambda^(p+q) "e"^(-lambda u)`
		`(v^(p-1) (1-v)^(q-1))/(B(p,q))`.
	</span>
	此密度函数可以分离变量, 因此 `X+Y` 与 `X/(X+Y)` 独立,
	且 `X+Y ~ Gamma(p+q, lambda)`, `X/(X+Y) ~ Be ta(p,q)`.
</p>

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</body>
</html>
